Fonksiyon Nedir Vikipedi



FONKSİYON Alm. Funkion (f), Fr. Fonction (f), İng. Function. Bir cümlenin (kümenin) her elemanını ikinci bir cümlenin yalnız bir elemanıyla eşleyen bir bağıntı. Birinci cümleye târif cümlesi, ikinci cümleye değer cümlesi denir. Genellikle bu elemanlar sayılardan ibârettir. Pekçok fonksiyon, çeşitli bilim konularında ortaya çıkar.

Fonksiyon 17. yüzyıldan beri matematiğin bir ana kavramı olmuştur. Hareketlerin araştırılmasında Galile, Kepler ve Newton, zamanla mesâfe arasında münâsebetleri ortaya koymuşlardır. Gazların sıcaklık, basınç ve hacimleri arasındaki münâsebet Robert Boyle tarafından, 17. yüzyılda ve A.C. Charles tarafından 18. yüzyılda keşfedilmiştir. On dokuzuncu yüzyılda ise akım, voltaj ve direnç arasındaki münâsebet ile elektrik anlaşılır hâle gelmiştir. Daha sonra biyoloji ve sosyal ilimlerde de sayılar ile ilgili bilgiler ve bununla fonksiyon kavramı önem kazanmıştır.

Bilimde en önemli kavramın değişkenler arasındaki ilişkiler olduğu söylenilebilir. Bir fonksiyon, iki cümlenin elemanlarını birbirine karşı getirir. Burada saatin her bir değerine, sıcaklığın bir değeri karşı gelmektedir. Bu sebepten sıcaklığın, zamânın bir fonksiyonu olduğu söylenebilir.

Seçilen her bir h değeri için karşı gelen bir t değeri bulunacaktır. Burada h’ye bağımsız değişken, t’ye bağımlı değişken denir. Ayrıca h’ye argüman ve t’ye de fonksiyon değeri adı verilir. Argüman değerlerin teşkil ettiği cümle fonksiyonun târif bölgesini gösterir. Fonksiyonun aldığı değerlerin cümlesi ise, fonksiyon değerleri cümlesini belirler. Târif cümlesi sonlu sayıda elemana sâhip olduğu gibi, çok fazla sayıda eleman da bulunabilir. Fonksiyonun değer bölgesi, târif bölgesi gibi çeşitli olabilir.

Genel olarak bir fonksiyonu tersine çevirmek, yâni h’yi t’nin fonksiyonu olarak ifâde etmek her zaman mümkün değildir. Fonksiyon bire bir örtense, yâni târif cümlesindeki her elemana değer cümlesinde bir ve yalnız bir eleman, tersine olarak değer cümlesindeki her elemana da târif cümlesinde bir ve yalnız bir eleman karşılık gelirse, ters fonksiyonu târif etmek mümkündür.

Fonksiyonun ifâdesi: Fonksiyonların ifâdesi için esas olarak üç yol mevcuttur: Tablo, grafik ve denklem ile temsil gösterenin, değişken değerlerine karşı gelen fonksiyon değerlerinin bir tabloda ifâdesi, en basit ve yaygın yoldur. Pekçok sayılar ile ilgili bilgileri ihtivâ eden kitaplarda bu tür tablolar mevcuttur. Grafik türünden bir temsil göstermek ise, fonksiyonu daha çok göze hitap eden bir şekle sokmaktadır. Fonksiyonun diğer yaygın bir şekli de, denklem şeklinde olan ifâdesidir. Meselâ: Bir karenin alanı bir kenarının fonksiyonu olarak A = x2 şeklinde ifâde edilir.

Bir serbest düşüşte alınan s mesâfesinin, t zamânına bağlılığı S = 1/2 g.t2 = 4.905.t2 şeklindedir. Fahrenheit derece ile Celsius derece arasındaki ilgi ise F = 9C/5 + 32 olarak belirlidir. Değişik bir fonksiyonda, 1 Türk lirasının % 6’dan fâizle işletilmesi ve fâizin üç ayda bir hesab edilmesiyle n yıl sonra bu para A = (1,015)4n değerini veren ifâdede ortaya çıkar. Bu üç tür fonksiyon ifâdesi birbirini tamamlar. Meselâ; formül mevcutsa, tablo ve grafik hâlinde ifâde etmek mümkündür. Her zaman değilse de bâzan tablo edilmiş, değerlerden, buna uyan bir denklem bulmak mümkün olabilir. Bir fonksiyonu, târif etmek için, sâdece fonksiyonun, verilen değere karşı getirdiği değeri belirleyen kuralı vermek yetmez. Onun târif bölgesini belirlemek gerekir.

Fonksiyon tablo veya grafik hâlinde verildiğinde, bu tamâmen belirlidir. Denklem hâlinde ifâde edilen fonksiyonlarda târif bölgesini ayrıca belirlemek lâzımdır. Meselâ, bir karenin alanını belirleyen bir fonksiyonda, kenar sıfırdan büyük olacağı için fonksiyon şöyle ifâde edilir: A = x2; x > 0

Fonksiyonun (temsili): y değerinin x argümanının bir fonksiyonu belirtmek için y = f(x) yazılır. Bu ifâde tarzına târif bölgesi eklenirse, y = f(x); x > 0 şeklinde yazılabilir. Eğer iki farklı fonksiyon varsa, f(x) ve g(x) olarak gösterilebilir. Burada g, sâdece f’den farklı bir fonksiyonu temsil etmektedir. Bu çeşit temsilde f(x) tablo, grafik, formül veya başka bir şekilde belirtilen fonksiyonu ifâde eder. Meselâ; f(x) = x2 + x + 3; x>0 şeklinde bir fonksiyon verilmişse; x = 1 için fonksiyonunun değeri 5’tir. Bu f(1) = 12+ 1 + 3 = 5 yazılarak hesaplanır.

Fonksiyon çeşitleri: Matematikte en basit ve en kullanışlı fonksiyon çeşidi cebirsel denklemlerde ifâde edilenlerdir. Buna misâl olarak y = 2x+3, y = x2-4x+5, y = (x+5)/(x2+7) ve FORMÜL VAAAAAAAAAARRRRRRR!!! verilebilir. Bunlar sıra ile doğrusal, ikinci dereceden, kesirli ve irrasyonel cebirsel denklemlerdir. Bir fonksiyon ifâde ederken, bunun târif bölgesindeki farklı bölgeler için farklı formüller verilebilir. Meselâ; x>1 için, f(x) = x+1, -1£x£+1 için f(x) = x; x= 1 için f(x) = x-1 gibi denklemlerde cebirsel ifâde edilemeyen fonksiyonlara, transandantal fonksiyonlar denir. Bunların en basiti logaritmik ve trigonometrik fonksiyonlardır. Âdi logaritma tablosu, her pozitif N sayısı için bir L logaritma değeri verir. Böylece L = log10 N fonksiyonunu târif eder.

Târif bölgesi pozitif sayılar cümlesidir. Bu tablo tersine de kullanılarak logaritması belirli olan sayının kendisi bulunabilir ve bu ise N = antilog10 L fonksiyonunu târif eder. Bu iki fonksiyon ise, bir fonksiyon denklemini sağlayacak bir L sayısının bulunması şeklinde târif edilir. Bu da üstel (eksponansiyel) fonksiyona bir örnektir. Trigonometrik oranların tablosu, karşı gelen fonksiyonları gösterir. Meselâ açıların sinüs tablosu her açıya bir sayı karşılığı getirir. Bu sin (x+360°) = sin x olduğu için periyodik bir fonksiyondur. x’in bütün gerçek değerleri için târif edilen y = sin x fonksiyonunun aldığı değerler -1£y£+1 şartını sağlayan sayılar cümlesinde bulunur. Bu fonksiyon tek değerli bir ters fonksiyona sâhip değildir. Meselâ y = 1/2’ye karşı gelen pekçok x değeri mevcuttur. Ancak değişken -p/2 ile p/2 arasında sınırlandırılırsa, bu aksaklık giderilebilir.

Böylece -p/2 £ x £ p/2 için y= sin x fonksiyonu tek değerli bir ters fonksiyona sâhib olup -1£y£+1 olmak üzere x= arc sin y olarak gösterilir.

Bir fonksiyonun limiti: Birden fazla aralıkta târifli olan fonksiyonlar analizde önemli bir yer tutar. Meselâ f(x) = (x2-1)/(x-1) fonksiyonu x = 1 hâriç her gerçek sayı için târiflidir. Bu analizde sık rastlanan bir duruma örnektir. Eğer karşı gelme kuralı için, (x2-1)/(x-1) kesirli hâli kabul edilirse, x = 1 için târifsiz ifâdesi elde edilir. Diğer değerlerde hiçbir zorluk yoktur. Ancak fonksiyon, y= (x-1) (x+1)/(x-1) yazılır ve sâdeleştirme yapılırsa y = x+1 bulunur. x değeri 1’e yaklaştıkça, fonksiyon değerlerinin 2’ye yaklaştığı kolayca anlaşılabilir. Bu matematiksel olarak: x2 – 1 lim ⎯⎯⎯⎯⎯ = 2 x→1 x – 1 şeklinde yazılır. Analizde yapılan işlemler çoğu zaman argümanın belirli bir değere yaklaştığında fonksiyonunun yaklaştığı limiti bulmağı gerektirir.

Sürekli ve süreksiz fonksiyonlar: x = 1 için: x2 – 1 y = ⎯⎯⎯⎯ x + 1 fonksiyonu süreksiz bir fonksiyona örnektir. Çünkü x= 1 için y, belirsiz olduğundan, fonksiyon bir noktada süreksizdir. Diğer taraftan y=x+1 fonksiyonu her noktada süreklidir. Fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktada belirli olması, argüman o noktaya yaklaşırken tek bir limite yaklaşması ve bu limitin târifte verilen değere eşit olması gerekir.

Fonksiyon teorisi: Çeşitli fonksiyonların özelliklerini incelemek, kapalı ifâdeleri bulunmadığında fonksiyonun özelliklerinden fonksiyonları keşfetmek ve bu arada çok farklı fonksiyonlar kullanmak, fonksiyonlar teorisinin konularından bâzılarıdır. Bu da analizin bir koludur.

Sizlerde Konu Hakkında Yorum Yapın